Sea una función f de dominio Dom(f); si f es inyectiva, entonces f tiene función inversa, que expresamos por f -1, y que está definida por:
Observa que para la función inversa se cumple que:
Dom(f -1) = Im(f) y que Im(f -1) = Dom(f)
Una función y su inversa verifican las siguientes propiedades:
• f[f -1(x)] = f -1[f(x)] = x
• Las gráficas de f y de f -1, referidas al mismo sistema de coordenadas, son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
Hallar la inversa de una función f(x)
Para hallar la inversa de una función f debemos seguir los siguientes pasos:
1. Ver si f es inyectiva.
2. Despejar la variable x de la ecuación: y = f(x)
3. Intercambiar las variables x e y para obtener f -1(x)
Ejemplo de hallar la inversa de una función
Dada una función f, vamos a hallar su función inversa:
a) f(x) = 3x + 2
Primero vemos si es inyectiva:
f(x1) = f(x2) ⇒ 3x1 + 2= 3x2 + 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2
Luego sí es inyectiva.
En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación: y = f(x)
Por último, intercambiamos las variables:
b) f(x) = x2
Esta función no es inyectiva: f(-2) = f(2) = 4 , dos elementos distintos tienen la misma imagen.
Para valores reales positivos de la función podemos obtener su inversa:
f(x) = y ⇔ x2 = y ⇔ x = +√y ⇔ y = +√x ⇔ f -1(x) = +√x
La función inversa presenta restricciones:
las funciones f(x) = x2 y f(x) = +√x son funciones inversa sólo si las consideramos en el intervalo [0 , ∞)
Si no hubiésemos puesto la condición x > 0 tendríamos que la inversa de f(x) = x2 sería f -1 = ± √x, que no es función.
Imagen inversa de un número
Para todo y0 del recorrido de la función f (Im(f)), su imagen inversa f -1(y0), es el conjunto de los números x del dominio de f (Dom(f)) que se transforman en y0.
f -1(y0) = { x ∈ R / f(x) = y0 }
Para hallar f -1(y0) se resuelve la ecuación f(x) = y0.
También podemos determinar f -1(y0) gráficamente trazando la recta horizontal y = y0. Las abscisas correspondientes a los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de f(x) forman la imagen inversa de y0.
Ejemplo de imagen inversa de un número
Vamos a calcular la imagen inversa de 4 y 1 de la función: f(x) = x2
f -1(4) = { x ∈ R / f(x) = 4 } = { x ∈ R / x2 = 4 } = { -2 , 2}
f -1(1) = { x ∈ R / f(x) = 1 } = { x ∈ R / x2 = 1 } = { -1 , 1}
Para hallar las imágenes inversas trazamos las rectas: y = 4 , y = 1
La abscisas correspondientes a los puntos de corte de ambas rectas con la gráfica:
f(x) = x2 forman la imagen inversa de 4 y 1, respectivamente.
-FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
loga x = b Û ab = x.
Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
- La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
- Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
- En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
- La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
- Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Ecuaciones logarítmicas
Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:
- Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
- Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
- Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.
En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.
Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base.
-FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Propiedades
Dominio: 
Recorrido: 
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
Véase también en:
http://www.vitutor.com/fun/2/a_5.html
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