2.2 FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA, Y BIYECTIVA

-FUNCIÓN INYECTIVA:

Una función f de dominio D = Dom(f) es inyectiva cuando a elementos distintos de D le corresponden imágenes distintas:

Si    x₁, x₂ ∈ D :       x₁ ≠ x₂     ⇒     f(x₁) ≠ f(x₂)

Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen.

Ejemplo de función inyectiva

a)   Veamos si la función f(x) = 4x - 1 es inyectiva:

Si las imágenes son iguales:

               f(x₁) = f(x₂)     ⇒     4x₁ - 1 = 4x₂ - 1     ⇒     4x₁ = 4x₂     ⇒     x₁ = x₂

, los originales son iguales.

Por tanto, la función f es inyectiva.

-FUNCIÓN SUPRAYECTIVA

una función  es sobreyectiva (epiyectiva,suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

Formalmente,

Veamos si la función  g: R → R , donde  g(x) = x³ + 3, es sobreyectiva:

En este caso:

            El conjunto inicial de g es R .

            El conjunto final de g es:    R

            La imagen de g es también R , es decir:    Im(g) = R

            La imagen de g y el conjunto final de g coinciden es    R:

            Vease la parte rayada del eje OY. Coincide con todo R

Luego la función g sí es sobreyectiva.

                

-FUNCIÓN BIYECTIVA

una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva ysobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo  de  se cumple que existe un único  de , tal que la función evaluada en  es igual a .

Dados dos conjuntos  e  finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si  e  tienen el mismo número de elementos.

Ejemplo de función biyectiva

a)   Veamos si la función  f: R → R , donde  f(x) = 3x - 2, es biyectiva.

Veamos primero si es inyectiva,

Si las imágenes son iguales:

               f(x₁) = f(x₂)     ⇒     3x₁ - 2 = 3x₂ - 2     ⇒     3x₁ = 3x₂     ⇒     x₁ = x₂

, los originales son iguales.

Por tanto, la función f es inyectiva.

Veamos ahora si es sobreyectiva:

            El conjunto inicial de f es R .

            El conjunto final de f es:    R

            La imagen de f es también R, es decir:    Im(f) = R

            La imagen de f y el conjunto final de f coinciden:     R:

            Vease la parte rayada del eje OY. Coincide con todo R

Luego la función f sí es sobreyectiva.

Por tanto, la función f es biyectiva.