Funciones con Dominio en los Números Naturales y un Viaje a los Números Reales: Las Secuencias Infinitas
Considere un conjunto N, una función f: X Y de la secuencia de números de N esta es conocida como función de sucesiones. El dominio de tales funciones se limita sólo a los números naturales. Las convenciones utilizadas para referirse a tales secuencias son, o
o
La notación convenida para denotar una función de este tipo sería,
Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.
En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}.
La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.
Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.
Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.
Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.
También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.
También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.
Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…} {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,
f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.
Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.
En segundo lugar, despejamos la variable x de la ecuación: y = f(x)
Por último, intercambiamos las variables:
b) f(x) = x2
Esta función no es inyectiva: f(-2) = f(2) = 4 , dos elementos distintos tienen la misma imagen.
Para valores reales positivos de la función podemos obtener su inversa:
f(x) = y ⇔ x2 = y ⇔ x = +√y ⇔ y = +√x ⇔ f -1(x) = +√x
La función inversa presenta restricciones:
las funciones f(x) = x2 y f(x) = +√x son funciones inversa sólo si las consideramos en el intervalo [0 , ∞)
Si no hubiésemos puesto la condición x > 0 tendríamos que la inversa de f(x) = x2 sería f -1 = ± √x, que no es función.
Imagen inversa de un número
Para todo y0 del recorrido de la función f (Im(f)), su imagen inversa f -1(y0), es el conjunto de los números x del dominio de f (Dom(f)) que se transforman en y0.
f -1(y0) = { x ∈ R / f(x) = y0 }
Para hallar f -1(y0) se resuelve la ecuación f(x) = y0.
También podemos determinar f -1(y0) gráficamente trazando la recta horizontal y = y0. Las abscisas correspondientes a los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de f(x) forman la imagen inversa de y0.
Ejemplo de imagen inversa de un número
Vamos a calcular la imagen inversa de 4 y 1 de la función: f(x) = x2
f -1(4) = { x ∈ R / f(x) = 4 } = { x ∈ R / x2 = 4 } = { -2 , 2}
f -1(1) = { x ∈ R / f(x) = 1 } = { x ∈ R / x2 = 1 } = { -1 , 1}
Para hallar las imágenes inversas trazamos las rectas: y = 4 , y = 1
La abscisas correspondientes a los puntos de corte de ambas rectas con la gráfica:
f(x) = x2 forman la imagen inversa de 4 y 1, respectivamente.
-FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
loga x = b Û ab = x.
Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).
Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Ecuaciones logarítmicas
Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.
Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:
Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.
Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.
Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.
En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.
Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base.
-FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Propiedades
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.
Vamos a hallar la función recíproca de f, donde f es:
Hacemos (1/f)(x):
Vemos que: Dom(f) = R
Y además f(x) = 0 sólamente si x = 0. Luego: {x ∈ R / f(x) = 0} = {0}
Por tanto el dominio de la función recíproca de f es:
-COMPOSICIÓN:
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
-FUNCIONES DEFINIDAS POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA
Función a trozos es un nombre más general para una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia. Una función f: X → Y es llamada una función a trozos si puede ser definida con la ayuda de varias funciones lineales. Podemos decir que tal función está definida en una serie de intervalos múltiples. La notación general para definir una función a trozos es la siguiente,
Como se muestra en el ejemplo, punto y coma ócomas se utilizan al final de la columna. Sin embargo, algunos los autores prefieren usar palabras como “si” o “para” en la columna derecha, y la palabra “ de lo contrario” también se puede utilizar para indicar el caso por defecto. La gráfica de esta función también se divide en trozos, dependiendo del número de ecuaciones que se utilicen para definir la función. Tal función es llamada de esta forma porque la definición de esta función cambia dependiendo del valor de la variable de entrada. Aquí el uso de la palabra “a trozos” se hace para describir la propiedad de esa función, que es válida para una ecuación / pieza de la función pero no en todo el dominio de la función. La función a trozos tiene una serie de funciones en su cuerpo, el dominio de cada una de ellas se define por separado. El gráfico del ejemplo dado previamente luciría de esta forma, Es claro que el gráfico anterior contiene dos piezas separadas para indicar dos ecuaciones diferentes, por lo tanto representa la función como un todo. Un caso especial de la función a trozos es la función piso que tiene un número infinito de piezas. El valor absoluto de cualquier número es su distancia absoluta del cero, nunca es negativo dado que la distancia nunca es negativa. A la luz de la afirmación anterior se puede decir que el valor absoluto de cualquier número es el número mismo hecho positivo. La función de valor absoluto es generalmente una función par, ya que cualquier número y su equivalente negativo tienen los mismos valores absolutos. Tal función es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞, 0] y estrictamente creciente en el intervalo [0, ∞). El ejemplo ilustrado arriba es también una función de valor absoluto. Todas las gráficas de las funciones de valor absoluto están en forma de letra “V”, ya seanrectas u oblicuas en función del valor de la variable. Esto se debe a que un valor negativo en cada variable es igual en magnitud pero opuesto en su dirección. Pero definitivamente no se puede llegar a la conclusión de que todas las funciones con forma de V son funciones de valor absoluto, esto es simplemente una probabilidad. Graficar una función de valor absoluto es muy esencial para utilizar algunos valores negativos en la tabla T. Esto se debe a que las funciones de valor absoluto se comportan algo diferente de otras funciones lineales. Generalmente una función real de valor absoluto se comporta de forma continua en todos sus dominios. También tal función sería diferenciable para todos los valores excepto el cero. En el caso de una función de valor absoluto compleja, no hay diferenciación posible para alguno de sus valores. Sin embargo, es continua para el dominio completo. -FUNCIÓN DE VALOR ABSOLUTO La función |f(x)| cambia de signo los resultados negativos de f(x) ; los resultados positivos los deja iguales. Su gráfica no puede aparecer por debajo del eje OX.
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
entre las variables x e y:
o
o
